10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/100 + ...
Предел суммы этой бесконечной геометрической прогрессии будет двенадцать (точнее, одиннадцать и одна пятая; еще точнее, одиннадцать с тремя двадцатипятыми), но он никогда не достигается. То есть путь героя будет бесконечен, и он будет бежать вечно, но его маршрут закончится, не достигнув двенадцати метров, и его вечность не достигнет двенадцати секунд. Это методичное разложение, это конечное падение в бездны все более мелкие, на самом деле не уничтожают проблему, а просто хорошо ее представляют. Не будем также забывать, что и бегуны уменьшаются – не только вследствие визуального уменьшения перспективы, но вследствие волшебного уменьшения, к которому их вынуждает то, что они занимают все более микроскопическое пространство. Представим себе также, что эта лестница бездны разрушает пространство при все более ускоряющемся беге времени, – этакий отчаянный двойной бег наперегонки неподвижности и экстатической быстроты.
Другой попыткой опровержения была сделанная в тысяча девятьсот десятом году Анри Бергсоном в его известном «Опыте о непосредственных данных сознания» – само название книги является предвосхищением основания. Вот страница из нее:
С одной стороны, мы предписываем движению такую же делимость, какую имеет преодолеваемое пространно, забывая о том, что можно делить предмет, но не действие; с другой стороны, мы привыкаем проецировать самое действие на пространство, применять его к линии, по которой движется предмет, – короче, делать движение вещественным. Из такого смешения движения и пройденного пространства и рождаются, на наш взгляд, софизмы Элейской школы; поскольку интервал, разделяющий две точки, бесконечно делим, и если бы движение состояло из частей, подобных частям интервала, этот интервал никогда бы не был преодолен. Но суть в том, что каждый из шагов Ахилла – это простой неделимый акт и после некоего данного числа таких актов Ахилл должен был бы догнать черепаху. Заблуждение элеатов происходило из отождествления этого ряда отдельных актов sui generis [особого рода (лат.)] с гомогенным пространством, на котором они совершаются. Поскольку это пространство может быть делимо и разложено согласно любому избранному закону, они сочли себя вправе переосмыслить движение Ахилла в целом уже не в шагах Ахилла, но в шагах черепахи. Догоняющего черепаху Ахилла они в действительности подменили двумя черепахами, действующими согласно, двумя черепахами, сговорившимися делать шаги одного рода или одновременные действия, чтобы никогда одна не догнала другую. Почему Ахилл обгоняет черепаху? Потому что каждый из шагов Ахилла и каждый из шагов черепахи, будучи движениями, неделимы: таким образом, весьма быстро набирается сумма пространства, преодоленного Ахиллом, как длина, превосходящая сумму пространства, пройденного черепахой, и данной ей форы. Вот чего не учитывает Зенон, разлагая движение Ахилла по тому же закону, что и движение черепахи, забывая, что только пространство поддается произвольному сложению и разложению, и смешивая его с движением («Непосредственные данные», испанский перевод Барнеса, страницы 89, 90. По ходу дела исправляю некоторые явные огрехи переводчика.) Суть фрагмента несложна. Бергсон допускает, что пространство бесконечно делимо, но отрицает такую делимость во времени. Чтобы развлечь читателя, он выводит двух черепах вместо одной. Он хотел бы сочетать время и пространство являющиеся несочетаемыми: неровное, прерывистое время Джеймса с его неизменным бурлением обновления и делимое до бесконечности пространство нашего обычного восприятия.
Делая пропуски, я перехожу к известному мне опровержению, по вдохновенности единственно достойному оригинала – как того требует эстетика мышления. Это опровержение, сформулированное Расселом. Я нашел его в благороднейшем труде Уильяма Джеймса «Some Problem of Philosophy» («Некоторые проблемы философии»), а концепцию в целом, которую он выдвигает, можно изучить в последующих книгах ее изобретателя – «Introduction to Mathematical Philosophy» («Введение в философию математики»), 1919; «Our Knowledge of the External World» («Наше знание окружающего мира»), 1926 – книгах нечеловеческой ясности, возбуждающих жажду знания и насыщенных. Согласно Расселу, операция счета является (по внутренней своей сущности) операцией сопоставления двух рядов. Например, если Ангел смерти умертвил всех первенцев в Египте, кроме тех, что находились в домах, где дверь была помечена кровью, то очевидно, спаслось столько, сколько было красных меток, не надо и пересчитывать их. Тут количество неопределенное; есть другие операции, в которых оно также неопределенное. Ряд натуральных чисел бесконечен, однако мы можем доказать, что нечетных там столько же, сколько четных.
Единице соответствует 2
3 -"– 4
5 -"– 6 и т.д.
Доказательство столь же безупречно, сколь примитивно, но оно не отличается от следующего доказательства того, что для числа 3018 существует столько же множителей, сколько есть чисел.
Единице соответствует 3018
2 -"– 6036
3 -"– 9054
4 -"– 12 072 и т.д.
То же можно утверждать о степенях этого числа, с тем различием, что дистанция между ними будет все более возрастать.
Единице соответствует 3 018
2 -"– 3 018? (9 108 324)
3 -"– 3 018? и так далее.
Гениальное признание этих фактов вдохновило философа на формулу, что бесконечное множество – например, ряд натуральных чисел – есть множество, члены которого могут в свой черед раздваиваться на бесконечные ряды. На подобных высоких широтах счисления часть не менее обильна, чем целое: точное количество точек, имеющихся во Вселенной, равно тому, которое имеется в одном метре Вселенной, или в одном дециметре, или в самой огромной траектории звезды. Задача Ахилла оказывается включенной в этот героический ответ. Каждое место, занятое черепахой, сохраняет пропорциональное отношение с местом, которое занято Ахиллом, и скрупулезного соответствия, точка к точке, обоих симметричных рядов достаточно, чтобы объявить их равными. Не остается никакого периодического остатка начальной форы, данной черепахе: конечная точка ее пути, конечная точка пути Ахилла и конечная точка времени состязания – математически совпадают. Таково решение Рассела. Не оспаривая техническое превосходство противника, Джеймс все же предпочитает не соглашаться. Заявления Рассела (пишет Джеймс) уклоняются от истинной трудности, касающейся категории бесконечного «растущее», а не категории «постоянное», – Рассел имеет в виду только последнюю, предполагая, что путь уже пройден и что задача состоит в том, чтобы уравновесить обе траектории. Между тем обе они не уточняются: определение пути каждого из бегунов или просто промежутка затраченного времени связано с трудностью достижения некой цели, когда каждый предыдущий интервал возникает раз за разом и перекрывает путь («Some problems of Philosophy», 1911, стр. 181).
Я подошел к концу моей заметки, но не наших размышлений. Парадокс Зенона Элейского, как указал Джеймс, покушается не только на реальность пространства, но и на самую неуязвимую и тонкую реальность времени. Добавлю, что жизнь в физическом теле, неподвижное пребывание, текучесть каждого дня жизни восстают против такой опасности. Подобный беспорядок вносится посредством одного слова «бесконечное», слова (а за ним и понятия), внушающего тревогу, которое мы отважно произносим и которое, превратившись в мысль, взрывается и убивает ее (существуют другие древние кары за общение со столь коварным словом – есть китайская легенда о скипетре императоров Лянь, который укорачивается с каждым новым правителем наполовину: изувеченный многими династиями, скипетр этот существует и поныне). Мое мнение, после приведенных мною столь квалифицированных суждений, подвержено двойному риску показаться дерзким и тривиальным. Все же я его выскажу: парадокс Зенона неопровержим, разве что мы признаем идеальную природу пространства и времени. Так признаем же идеализм, признаем же конкретное увличение воспринимаемого, и мы избегнем головокружительного умножения бездн этого парадокса.
Поколебать нашу концепцию Вселенной из-за этой крохи греческого невежества? – спросит мой читатель.
Аватары черепахи
Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности. Однажды я загорелся составлением истории ее жизни. Ее храм должна была удачно обезобразить многоголовая Гидра (омерзительное чудовище, прообраз или знак геометрических прогрессий); здание увенчали бы зловещие кошмары Кафки, а в центральных колоннах узнавалась бы гипотеза того далекого немецкого кардинала – Николая Кребса, Николая Кузанского, – считавшего окружность многоугольником с бесконечным числом сторон и записавшего, что бесконечная линия может быть прямой, треугольником, кругом и сферой («De docta ignorantia», 1, 13). Быть может, лет пять – семь метафизических, богословских и математических штудий и способствовали бы подготовке солидного труда. Нужно ли напоминать, что жизнь не оставляет мне ни такой надежды, ни даже такого прилагательного.
Моя заметка в каком-то смысле принадлежит воображаемой «Биографии бесконечного». Ее цель – обозначить некоторые аватары второго парадокса Зенона.
А теперь обратимся к парадоксу.
Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи; он дает ей фору в десять метров. Ахиллес пробегает эти десять метров, черепаха – один метр; Ахиллес пробегает этот метр, черепаха – дециметр; Ахиллес пробегает дециметр, черепаха – сантиметр; Ахиллес пробегает сантиметр, черепаха – миллиметр; и этот миллиметр пробегает Ахиллес Быстроногий, но черепаха успевает пройти десятую долю миллиметра, и так далее, так и не догоняя... Такова общепринятая версия. Вильгельм Капель («Die Vorsokratiken», 1935, с. 178) переводит с аристотелевского оригинала: «Второй аргумент – так называемый „Ахиллес“. Он гласит, что самый быстрый бегун не догонит самого медленного, так как необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг той точки, откуда стартовал убегающий, поэтому медленный бегун по необходимости всегда должен быть чуть впереди». Как видим, условие не меняется; но все же хотелось бы знать, как звали того поэта, который ввел героя и черепаху. Ведь сюжет обязан своей популярностью именно этим чудесным соперникам и ряду:
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/100 + ...
Почти никто не помнит другой, ему предшествующий сюжет – о беговой дорожке, хотя их схемы идентичны. Движение невозможно (заявляет Зенон), ибо для достижения цели движущийся объект должен пересечь половину расстояния, а до того – половину половины, а еще раньше – половину той половины, а перед тем...
Сообщением и первым опровержением этих доказательств мы обязаны перу Аристотеля. Аристотель оспаривает их кратко (возможно, брезгливо), однако память о них подсказывает ему знаменитый аргумент «третьего человека» против платоновской доктрины. Согласно доктрине, две особи, обладающие общими признаками (допустим, два человека), – это самые обыкновенные и преходящие подобия вечного архетипа. Аристотель задается вопросом, есть ли у людей и человека – преходящих особей и архетипа – общие признаки. Разумеется, да; они обладают общечеловеческими признаками. Тогда, утверждает Аристотель, следует определить второй архетип, их объединяющий, а затем третий...
В примечании к выполненному им переводу «Метафизики» Патрисио де Аскарате приписывает одному ученику Аристотеля следующее утверждение: «Если то что утверждается о многом, есть в то же время нечто отдельное, отличное от того, о чем утверждается (именно так и рассуждают платоники), должен существовать некто третий . Это определение применяют к видам и к идее. Таким образом, существует некто третий, отличный от конкретных видов и идеи. В то же время существует некто четвертый, находящийся в той же связи с третьим и с идеей конкретных видов. Затем пятый, и так до бесконечности». Возьмем два вида, а и b , входящих в род с . Тогда имеем:
а + b = с.
Но, по Аристотелю, верно также:
a + b + c = d,
a + b + c + d = e,
a + b + c + d + e = f...
Строго говоря, не нужно и двух видов; достаточно одного вида и рода, чтобы определить третьего человека , заявленного у Аристотеля. Зенон Элейский обращается к бесконечной регрессии, дабы опровергнуть движение и число; его оппонент – дабы опровергнуть универсальные формы.
Следующая аватара Зенона, отмеченная в моих разданных заметках, – скептик Агриппа. Он отрицает возможность любого доказательства, ибо оно требует предварительного доказательства («Hypotyposes», I, 166). Сходным образом Секст Эмпирик утверждает, что определения бессмысленны, поскольку вначале следовало бы определить понятия, входящие в определения, следовательно, определить определение («Hypotyposes», II, 207). Спустя тысячу шестьсот лет в посвящении к «Дон Жуану» Байрон напишет о Колридже: «I wish he would explain His Explanation»5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14