- Я пытаюсь понять: это все отсюда, - Алан протянул руку и костяшками пальцев постучал Лоуренса по голове, - или ты иногда берешь какие-то идеи у других?
- В детстве я один раз видел ангелов в церкви, в Виргинии, - ответил Лоуренс, - но, думаю, они были из моей головы.
Однако позже Алан сделал новый заход. Они добрались до знаменитой сторожевой башни и увидели, что вся достопримечательность - одинокая винтовая лестница в никуда, под ней - небольшая площадка, усеянная битыми бутылками. Палатку разбили у озера, полного бурых, липнущих к телу водорослей. Оставалось только пить шнапс и говорить о математике.
Алан сказал:
- Послушай, Бертран Рассел и еще один тип по фамилии Уайтхед написали «Principia Mathematica».
- Сейчас ты меня точно подкалываешь, - сказал Уотерхауз. - Даже я знаю, что «Principia Mathematica» написал сэр Исаак Ньютон.
- Ньютон написал другую книгу, которая тоже называлась «Principia Mathematica»* [В русском переводе книга Ньютона называется «Математические начала», а книга Рассела - «Основания математики».], хотя на самом деле она не про математику, а про то, что мы теперь назвали бы физикой.
- Тогда почему он назвал ее «Principia Mathematica»?
- Различие между физикой и математикой было нечетким во времена Ньютона...
- А может быть, и в наше фремя, - сказал Руди.
- ...и это прямо относится к тому, о чем я собираюсь говорить, - продолжал Алан. - Я про расселовские «Основания математики», в которых они с Уайтхедом начали абсолютно с пустого места и выстроили все - всю математику - на небольшом числе основных принципов. И вот почему я тебе это говорю, Лоуренс... Эй, Лоуренс! Проснись!
- М-м-м?
- Руди, возьми палку - да, эту - и следи за Лоуренсом. Когда глаза у него начнут вот так стекленеть, тыкай его в бок.
- Мы не в английской школе, тут так нельзя.
- Я слушаю, - сказал Лоуренс.
- Из «ОМ» следует абсолютно радикальная вещь - все в математике можно выразить определенной последовательностью символов.
- Лейбниц сказал это много раньше! - возмутился Руди.
- Ну, Лейбниц предложил символы, которые мы используем в дифференциальном исчислении, но...
- Я не про это!
- И он изобрел матрицы, но...
- И не про это тоже!
- И он немного занимался двоичной системой, но...
- Это софсем другое!
- Ладно, Руди, говори, о чем ты.
- Лейбниц изобрел базовый алфавит - записал набор символов для логических выражений.
- Ну, я не знал, что в сферу интересов герра Лейбница входила формальная логика, но...
- А как же! Он хотел сделать то же, что Рассел и Уайтхед, только не для одной математики, а для всего на сфете!
- Поскольку ты, Руди, похоже, единственный на планете знаешь об этом начинании Лейбница, можем ли мы допустить, что его затея не увенчалась успехом?
- Ты можешь допускать все, что тебе угодно, Алан, - ответил Руди, - но я - математик и ничего не допускаю.
Алан оскорбленно вздохнул и наградил Руди многозначительным взглядом, который, как догадывался Уотерхауз, означал «я тебе это припомню».
- Если мне позволят продолжить, - сказал он, - я вообще-то хотел, чтобы вы согласились вот с чем: все в математике можно выразить последовательностью символов, - он взял палку, которой надо было тыкать Лоуренса, и начал писать на земле что-то вроде + = 3) v1?, - и мне глубоко безразлично, будут это символы Рассела, или Лейбница, или гексаграммы И-Цзина.
- Лейбниц восхищался И-Цзином! - страстно воскликнул Руди.
- Помолчи пока про Лейбница, Руди. Мы с тобой едем в поезде, сидим в вагоне-ресторане, мило болтаем, а этот поезд со страшной силой тянут локомотивы «Бертран Рассел», «Риман», «Эйлер» и другие. А наш друг Лоуренс бежит рядом с поездом, пытаясь от нас не отстать - не обязательно потому, что мы умнее, просто он - деревенский, и у него нет билета. И я, Руди, просто высовываюсь в окошко и пытаюсь втащить его в гребаный поезд, чтобы мы втроем могли мило болтать о математике, не слушая все время, как он пыхтит и отдувается.
- Ладно, Алан.
- Если ты не будешь перебивать, я скоро закончу.
- Но есть еще локомотив по имени Лейбниц.
- Ты считаешь, что я не отдаю должного немцам? Внимание, сейчас я упомяну человека с немецкой фамилией.
- Кто же это? Фон Тьюринг? - съязвил Руди.
- Фон Тьюринг будет потом. Вообще-то я имел в виду Гёделя.
- Какой он немец! Он австрияк!
- Боюсь, это теперь одно и то же.
- Не я придумал аншлюс, и нечего на меня так смотреть. Я ненавижу Гитлера.
- Про Гёделя я слышал, - вставил Уотерхауз, чтобы охладить спор. - Но можно немножко назад?
- Конечно, Лоуренс.
- Зачем это надо? Ну то, что сделал Рассел? Что не так в математике? Я хочу сказать, два плюс два - четыре, верно?
Алан взял две бутылочные пробки и положил на землю.
- Два. Раз-два. Плюс... - Он положил рядом еще две. - Еще два. Раз-два. Равняется четырем. Раз-два-три-четыре.
- Что в этом плохого? - спросил Лоуренс.
- Однако, Лоуренс, когда ты на самом деле занимаешься математикой, абстрактно, ты ведь не считаешь пробки?
- Я вообще ничего не считаю.
Руди объявил:
- Очень современный взгляд.
- В смысле?
- Долгое время подразумевалось, - сказал Алан, - что математика - своего рода физика пробок. Что любую математическую операцию, которую ты выполняешь на бумаге, как бы ни была она сложна, можно свести - по крайней мере, в теории - к перекладыванию реального счетного материала вроде пробок в реальном мире.
- Нельзя же взять две целые одну десятую пробки.
- Ладно, ладно, пусть будут пробки для целых чисел, а для таких, как две целые одна десятая - физические меры, например длина этой палки. - Алан положил палку рядом с пробками.
- Как насчет «?»? Нельзя отпилить палку длиной ровно «?» дюймов.
- «?» - из геометрии. Та же история, - вставил Руди.
- Да, считалось, что Евклидова геометрия на самом деле своего рода физика, что его прямые и все такое описывают свойства физического мира. Но... знаешь Эйнштейна?
- Я не очень запоминаю фамилии.
- Седой, с большими усами.
- А, да, - мрачно ответил Лоуренс. - Я подходил к нему с вопросом про шестеренки. Он сказал, что опаздывает на встречу.
- Он придумал общую теорию относительности - своего рода практическое приложение, но не Евклидовой, а Римановой геометрии...
- Тот же Риман, что твоя дзета-функция?
- Тот же Риман, другое направление. Не уводи нас в сторону, Лоуренс...
- Риман показал, что существует много-много геометрий, которые, не являясь Евклидовыми, в то же время внутренне непротиворечивы, - объяснил Руди.
- Ладно, давайте снова к «ОМ», - сказал Лоуренс.
- Да! Рассел и Уайтхед. Итак, когда математики начали играть со всякими корнями из минус единицы и кватернионами, это было уже не то, что можно перевести в палки и пробки. И все же они по-прежнему получали верные результаты.
- По крайней мере внутренне непротиворечивые, - уточнил Руди.
- О'кей. Значит, математика - больше, чем физика пробок.
- Так нам представляется, Лоуренс, но возникает вопрос: математика по правде или это только игра в символы? Другими словами: мы открываем Истину или просто балуемся?
- Она должна быть по правде, потому что, когда прикладываешь ее к физике, она работает! Я слышал про общую теорию относительности и знаю, что она подтверждена экспериментами.
- Большая часть математики не поддается экспериментальной проверке, - сказал Руди.
- Вся идея в том, чтобы укрепить связь с физикой, - произнес Алан.
- И при этом не баловаться.
- И для этого написаны «ОМ»?
- Рассел и Уайтхед свели все математические понятия к таким жутко простым вещам, как множества. Отсюда они перешли к целым числам и так далее.
- Но как можно свести к множествам, например, число «?»?
- Нельзя, - сказал Алан, - зато его можно выразить цепочкой цифр: три запятая один четыре один пять девять и так далее.
- То есть через целые числа, - сказал Руди.
- Нечестно! Само «?» - не целое!
- Но можно вычислить цифры «?», одну за другой, по некой формуле. И можно написать формулу вроде такой!
Алан нацарапал на земле:

- Я использовал ряд Лейбница, чтобы утешить нашего друга. Видишь, Лоуренс? Это цепочка символов.
- Цепочку символов вижу, - нехотя согласился Лоуренс.
- Можно идти дальше? Гёдель, всего несколько лет назад, сказал: «Послушайте! Вы согласны, что все в математике просто цепочка символов? Тогда вот!» И показал, что любую цепочку символов - вроде этой - можно превратить в целые числа.
- Как?
- Ничего сложного, Лоуренс, простой шифр. Произвольный. Вместо уродливой сигмы напиши число 538 и так далее.
- Очень близко к баловству.
- Нет, нет! Потому что Гёдель расставил ловушку. В формулу можно подставлять числа, да?
- Конечно. Как 2х.
- Да. Можно подставить на место x любое число, и формула его удвоит. Но если математическую формулу вроде этой для вычисления числа «?» можно закодировать числом, то ее можно подставить в другую формулу. Формулу в формулу!
- И это все?
- Нет. Потом он доказал, очень простым способом, что если формулы можно применить к формулам, то мы вправе сказать: «данное утверждение недоказуемо». Что страшно удивило Гильберта и других, ожидавших противоположного результата.
- Этого твоего Гильберта ты уже упоминал?
- Нет, Лоуренс, он появился в нашем разговоре только сейчас.
- Кто он?
- Человек, который задает трудные вопросы. У него их целый список. Гёдель ответил на один.
- А фон Тьюринг - на другой, - добавил Руди.
- Это еще кто?
- Это я, - сказал Алан. - Только Руди шутит. В Тьюринге вообще-то нет приставки «фон».
- Сегодня ночью будет. - Руди как-то странно взглянул на Алана. Будь Лоуренс повзрослее, он бы определил этот взгляд как «страстный».
- Ладно, не томи. На какой вопрос Гильберта ты ответил?
- Entscheidungsproblem* [Проблема разрешимости (нем.).], - сказал Руди.
- То есть?
Алан объяснил:
- Гильберт хотел знать, можно ли в принципе доказать истинность или ложность любого высказывания.
- Но Гёдель все изменил, - произнес Руди.
- Верно. После Гёделя вопрос стал звучать так: «Можно ли определить, доказуемо или нет некое - любое - конкретное высказывание?» Другими словами, есть ли механический процесс, посредством которого мы в состоянии отсеять доказуемые утверждения от недоказуемых?
- «Механический процесс», Алан, это вообще-то метафора...
- Ладно тебе, Руди. Мы с Лоуренсом не боимся механики.
- Усек, - сказал Лоуренс.
- Что значит «усек»? - спросил Алан.
- Твоя машина - не для дзета-функций, а другая, о которой мы говорили...
- Она называется Универсальная Машина Тьюринга, - сказал Руди.
- Вся эта хреновина нужна, чтобы отделять недоказуемые утверждения от доказуемых, верно?
- Вот для чего я придумал ее основную идею, - сказал Алан. - Так что на вопрос Гильберта ответ уже есть. Теперь я хочу на самом деле ее построить, чтобы обыграть Руди в шахматы.
- Ты еще не сообщил бедному Лоуренсу ответ, - напомнил Руди.
- Лоуренс сообразит, - сказал Алан. - Ему будет чем себя развлечь.
Скоро стало ясно, что Алан на самом деле хотел сказать: «Будет чем себя развлечь, пока мы займемся друг другом». Лоуренс засунул блокнот под брючный ремень, взял велосипед, отъехал ярдов на двести к сторожевой башне, поднялся по лестнице на платформу и сел спиной к заходящему солнцу, примостив на коленях блокнот, чтобы свет падал на страницу.
Сперва он не мог собраться с мыслями, потом его отвлекли сполохи на северо-востоке. Он подумал было, что это отблески заката на облаках, но свет шел явно из одного места и к тому же мерцал. Тогда Лоуренс предположил, что это молния, однако свет был недостаточно голубой и резко менялся под воздействием (надо полагать) каких-то могучих событий за горизонтом. Когда солнце скрылось за противоположным краем мира, свет на горизонте Нью-Джерси превратился в ровное сияние, того же цвета, что от фонарика, когда под одеялом смотришь на него через пальцы.
Лоуренс спустился с башни, сел на велосипед и покатил через Сосновую пустошь. Вскоре он выехал на дорогу, которая шла примерно в нужную сторону. Большую часть времени молодой человек вообще ничего не видел, даже дорогу, но часа через два отблески света легли на щебенку под колесами, и ручейки между сосен превратились в горящие трещины.
Дорога свернула не в ту сторону, и Лоуренс поехал напрямик через лес. Теперь было совсем близко, и он различал свет за редким сосняком - черные тощие стволы казались обгорелыми палками. Начался песок, сырой и плотный, а у велосипеда были толстые шины. Один раз пришлось остановиться и перебросить велосипед через колючую проволоку. За сосняком пошел совершенно ровный белый песок с кустиками аммофилы, и тут же путника ослепила низкая ровная стена огня на горизонте размером примерно с полную луну, когда та садится в море. Огонь был такой яркий, что ничего другого Лоуренс уже не видел и несколько раз въезжал в промоины. После этого он старался не смотреть прямо на огонь, тем более что глядеть по сторонам тоже было интересно. На плоской песчаной равнине высились циклопические постройки, грубые творения фараонов, а на обширных пространствах между ними - далеко разнесенные исполинские гномоны триангулированной стали, внутренние скелеты пирамид.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71